El problema venía a decir que en un átomo había 30 partículas con carga positiva, 10 con carga negativa y 17 neutras. Si chocaban dos con la misma carga, no pasaba nada. Si chocaban dos de distinta carga, ambas se convertían en partículas del tercer tipo, es decir, del tipo que ninguna de las dos participantes en el choque era al principio. Así por ejemplo, si chocan una partícula positiva con otra neutra, se convertirían en dos partículas negativas.
La pregunta que hace Antonio es si, tras una serie de choques que elijamos a voluntad, podemos conseguir que las 57 partículas tengan todas la misma carga, fuera del tipo que fuera. Y, si no fuera posible (ay, malvados), explicar porqué.
Y sí, señores; cuando el río suena, agua lleva. En cuanto la pregunta incluye un "y si no fuera posible", se le ven las orejas al lobo y empezamos a sospechar que que eso es exactamente lo que va a pasar. Y, no hagamos esperar más a la verdad, eso es exactamente lo que ocurre. No es posible hacer lo que nos piden. Aunque conviene hacer notar que no es posible porque los tres inocentes números de arriba están cuidadosamente seleccionados, por no decir seleccionados a mala leche. ¿Que por qué? Porque los tres son incongruentes entre sí, módulo 3. Ahora que he perdido al 99% de la audiencia, vamos a traducir esto último para que veáis por qué no se puede hacer (advertencia: de aquí al final cuento, de la forma más explicativa posible, por qué no hay solución. He preferido sacrificar el tamaño por la claridad, así que hay bastante que leer. Pero merece la pena para impresionar después a la gente con tus súbitos conocimientos de mates. Hasta doy la receta para decir qué pasa si dan otros números).
Imaginemos que sí fuera posible hacerlo; es decir, tras una serie de choques tenemos 57 partículas con un tipo de carga (en principio nos da igual cuál) y cero de los otros dos tipos. ¿Cuál es el paso anterior? ¿Qué hemos hecho para llegar hasta aquí? Sin mucho esfuerzo, vemos que la única posibilidad es que justo antes hubiera 55 partícula de un tipo (digamos A) y una de cada uno de los otros dos (digamos B y C). Segundos después, las partículas B y C chocan, y hemos acabado (aunque reitero que eso no es posible, pero suponer, como soñar, es gratis).
Una vez más, ¿cuál es el paso anterior a éste? Ahora ya hay varias opciones, pero lo que es importante deducir es que para poder acabar de forma satisfactoria, es necesario llegar a una configuración en la que dos tipos de carga distintos (no importa cuáles) tengan el mismo número de partículas. O sea, si conseguimos que haya 5 partícula A, 5 B y el resto C, sabemos que ya podemos terminar bien.
Quizás ahora os digáis: "pues esto es mucho más fácil, seguro que toqueteando se puede conseguir, mira lo cerca que están unos números de otros". Pues no, esto tampoco se puede conseguir. Y de hecho, lo que vamos a hacer es probar que esto no se puede conseguir, con lo que habremos probado que tampoco podemos quedarnos a cero en dos de los tipos de carga, que es lo que pregunta Antonio en el desafío.
Supongamos que empezamos con 10 partículas de tipo A y 17 de tipo B, como pasa en nuestro ejemplo. Nos da igual cuántas sean de tipo C. Queremos conseguir, haciendo todos los choques que queramos, que A y B tengan el mismo número de partículas, sin importarnos cuál sea ese número. ¿Qué posibilidades tenemos?
- Si chocan una partícula A y otra B, ambas perderían una partícula, y la diferencia entre ambas seguiría siendo la misma que hasta ahora, 7 partículas.
- Si chocan una partícula A y otra C, tendríamos una partícula A menos (luego 9) y dos partículas B más (luego 19), ya que las dos que han chocado pasan a ser de tipo B. Luego la diferencia ha aumentado en tres partículas, 7+3=10.
- Por último, si chocan una partícula B y otra C, tendríamos dos partículas A más (luego 12) y una partícula B de menos (luego 16), por lo que la diferencia disminuiría en 3, 7-3=4.
Hagamos lo que hagamos, la diferencia sólo puede quedarse igual o aumentar / disminuir en 3 unidades. Por tanto, y aquí está la clave de todo esto, la diferencia entre el número de partículas de tipo A y B puede ser 4,7,10,13,16,... o bien, si restamos, 4,1,-2,-5,... ¡pero nunca puede ser cero! Acabamos de demostrar que jamás, hagamos lo que hagamos, podemos igualar el número de partículas de estos dos tipos, por lo que nunca podremos deshacernos de ellas a la vez para que queden sólo las de tipo C.
Si en vez de con 10 y 17 probamos con 10 y 30, pasa algo parecido. La diferencia es 20, y de nuevo sólo podemos añadir o sustraer 3 cuantas veces queramos. Luego lo más que podemos acercarnos es dejando la diferencia en 1 o en -2. Algo parecido ocurre con 17 y 30. La diferencia entre ellos es 13, con lo que tampoco podemos hacerla cero.
Vale, ya hemos probado que es imposible. Pero al principio mencionábamos que esto era por culpa de haber escogido estos números concretamente. Esto quiere decir que, con otros números, si puede hacerse. Por ejemplo, si tuviéramos 10 partículas de tipo A, 30 de tipo B y 16 de tipo C, hay una solución. Haciendo chocar dos partículas C con 2 B, acabaríamos teniendo 4 partículas más de tipo A (14 en total), 2 menos de tipo B (28) y dos menos de tipo C (14). ¡Y ahora sí podemos hacer algo! Basta hacer chocar las 14 partículas A con las 14 C, y todas ellas desaparecerán, dejando sólo partículas de tipo B. La clave de que hayamos podido es que la diferencia entre A y C es 6, que es un múltiplo de 3. Luego en este ejemplo, sólo podríamos haber utilizado esta pareja (A y C), puesto que las otras parejas no dan múltiplos de 3 en la diferencia (A y B dan 20, mientras que B y C dan 14).
Luego, si nos dan tres números cualesquiera, el problema tendrá solución si y sólo si alguna de las tres diferencias es múltiplo de 3. Si sólo hay una, la solución sólo permitiría eliminar todas las partículas de estos dos tipos y convertirlas en partículas del tercer tipo. Si las tres diferencias son múltiplos de tres (no puede haber sólo dos), entonces podemos elegir qué tipo de partículas queremos que queden al final. Como curiosidad, la probabilidad de que con unos números al azar el problema no tenga solución es de 2/9, aproximadamente un 22,23 %.
Por cierto, la solución genérica que hemos dado equivale a lo siguiente: el problema tendrá solución si y sólo si entre los tres números existen al menos dos congruentes entre sí, módulo 3, que es la frase extraña que mencionábamos arriba.
En dos o tres días, publicarán en el País la solución de Antonio. También la enlazaremos por aquí. Espero que la de hoy os haya parecido interesante.
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